点差法求双曲线中点弦方程：为啥必须检验？

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聚焦“点差法"应用的三重境界 “点差法”是 圆锥 曲线 中的常见 方法 ， 如果能恰当使用， 可以降低运 算量 ， 优化解题过程．我们对“点差 法 ”的掌握也有境界高低 之分 。 特举 以下几例 ．谈谈 点差法在应用 中的 三重境界． 术： 熟练应用 ， 解决中点 和斜率相关问题 1． 点差法的步骤 设 直 线 与 圆锥 曲线 的 交 点 坐 标 为A ( ， Y ) ， B (x ， Y ) ， 将A ， 曰 坐标 代人 圆锥曲线方程 ，两式作差后分 解因式，得到一个与弦的 中点和斜 率有关的式 子 ．我们称之为 “点差 法 ”． 应 用“点差法 ”的常见题 型有 ： 求 中点弦方 程 、 求 弦中点轨迹 、 垂直 平分线 问题 ， 等等． 举例如下 ： 例1已知A曰 是椭 圆 + ： 1 旷 b ‘ (a>b>O) 不垂 直 于 轴 的任 意一 条 弦 ， P是AB的中点 ． 0 为椭圆的中心 ． 求证 ： 直线AB和直线OP的斜率之积 是定值． 解 答 ： 设 A (xt,Y ) ， B ( 2， y2 ) 且 ·≠ 则 + 吾 = 1① ，① 一 ② 得 兰 ；一 互 + 吾 = 1② ．， ’所 以 b 掣 ， 所 kA B - - - -一a~( yl+y2) ( —Y l- -—Y2 ：l— X2 一 Y~ -Y2： 1 — — 2 一 ．又 萨 ， 所 以 。 ： a'Ly l+y 2)XI+X2 一 ．土， ~v Xk a B ． ko p =_ b 2， 原 式 得 证 a 。 k oe az． 2．点差法的误区 虽然 “点 差法 ”简 洁易算 ， 但 仍 存在着应 用的误 区 ： 忽 视直线与 圆 锥曲线必须有两个不同的交点这 一 前提条件．正确套用“点差法 ”的模 型 ， 按 照步骤熟练求解 ， 并 明确知道 它的适用条件 ， 是第一重境界 ， 我们 不妨称之为点差“术 ”． 举例如下 ： 例 2 已知 双 曲线 z一 = 1． Z 过 ( 1， 1)能否作直线 使z与双曲线 交 于P ， Q两点 ， 且B是 线段 尸 Q的 中 点 ， 这样的直线如果存在 ， 求 出它的 方程 ； 如果不存在 ， 说 明理由． 解答 ： 假设这样 的直线存在 ， 设 P ， Q的坐标分 别为 ( t， Y。 ) ， ( ， Y2 ) ， 1 则 Xl+x2=2， Yl+Y2 =2． 又 一 ÷ yz- l 二 ①， ； 一 ÷ =1②． ①一 ②得( + 2 ) Xl- -X)一 ÷ (y + Y2) ·(Yr Yz)=0， 所~ X 2(xl叫2)一 ( l— )= 0 ， 所以 的斜 率 _ - Yl- Yz=2．所 以Z l 一 2 的方程为Y— l =2(x— 1) ， 即y=2x—I． ( 注 ：我们通 常在 这里 匆匆 结 束 ， 造成失误． ) 1 但若将y= 一 1代入 2_ =1整 2 理得方程2xZ- 4x+3=O． 而此方程无实 数解． 所以满足题设 的直线不存在． ⑨ 法： 适时应用， 抓住整体 代换的方法解题 很多同学认为 ： “点差法 只能解 决 同时与斜率 、中点有关的问题．” 这句话有待商榷 ． 因为点差法是 “整 体 代换 。 设 而不求 ”方 法 的具 体 运 用 ，并非 只有 同时出现 中点或者斜 率时才能应用 ， 举 例如下 ： 例3 (2011年高考江 苏卷 )如 图1， 在平面直角坐标 系xOy中 ， M ， Ⅳ ．．2 ． 2 分别 是椭 圆 + = 1的顶点 ， 过 坐 4 2 标原点的直线交椭圆于P， A 两点， 其 中点P在第一 象限．过 P作礴由 的垂 线 ， 垂足 为C， 连结AC， 并 延长交 椭 圆于点 ． 设直线 ( 1) 当直 线 k的值 ； (2)当k=2时 ， 求点劂 直线AB的 距离d： ( 3)对任 意k>0， 求证 ： 的斜率为k． 平 分线 段MN ， 求 上朋 Y M 一 ， 4＼ N 图1 分析 ： 第(3) 问的 常规 思路 是 ， 直线方程与椭 圆方程联立得 到点P 。 的坐标 。 从 而求 出斜率 ， 证 明结 论． 但 求出的点的坐标非常复杂 ． 再 求斜 率运算难度较大．换种 思路 ， 设 出点P ， B的坐标 ，得到点A 的坐标和 直线 ， 册 的斜率， 利用P， B在椭圆 上 ， 使 用 “ 点 差 法 ’后 ， 整 体 代 换 ， 不 需要 求 出点P ． 的 坐标． 该题应 用 了点差法 ．但 与中点并没有任何 关 系．这就要求对“ 点差法” 的“ 整体代 换 ， 设而不求”的方法有更深层 次的 理解， 从“术”升华为“法”的境界． ， 解答 ： (1)后 ： x／ Y． (2)d= Z j ( 过程略 )．(3)设P( Y1 ) ， B(xz， Yz) ，