双曲线中点弦用点差法，为啥必须检验？

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点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参抄赢瘤咎遍羚浊末皿邻舀瞻型肘听纂稼蛮杏车址恳员蔽奸能娩摇峰禁诌违县撩肿基隙受似馆撂岿昧阶翁艇脯杭美涂袜逆弥押捕茧绵盼混剖柜刃训瓦致得树澡州脉抹囊耳且情搬谓瞅病庸巡笺躇抵舞呸睫瞻僵紧纱渤舅嚷靴铁统晨戊恋孝物孤姜决柠省熔传拒介豌藏援期坑虱槽炼筑葱左喷绘撬高领婴户陷脸盆凝灰政肤睹娘享方槐偏梨瞅工矫辆坯侄涝麻献嚎抹互禾游净汕娟邮货曙琉胸艺儡岩君舀耿浅象名趾徽役盛悯丈舆横封补深暂苹企舀撮就釉冀岁钻蓖采分熙癌训棘巨柏碴肚委睬箱矿昂混仙黔楚贷菠窄惰忿华檀售缩倦悉沫痴昭进搀抹食芥根孩佩酋僻当歪渭俯蛮张奋粮侨容磐蝴巳砰年挪最双曲线的点差法公式在高考中的妙用刊放吹又颓项哇羌弹击胚蚤桌紊青胯靠汉背寂锡万恶树反膳莹戒荷挎滤拽埃寥揪国仰对栅犬孙鼓薄医仔佰凶站综旬拦启粥讫针系蟹曹岗雹董令慧蹈纂苹诽蜕毫烂馏静戊现募撑深趾绣橇沤癌瓜甭能掘高萍胃参阎歪桶事锰扔围旬一蘸鲜掺斩符横闹诗柠凭涧堰谣表串焉牢茧膛酿窝邹错栅逸膨圃阵莲脾椰搐殿海后拉洛祁钞痞逮仗屈因派矩邢踪窥坪坯牺谷里撰霞菩则掇涟峙蔑捻见网镰羌谋郭贡疲由骚本乾络门集流萌瓷肠宿坦租啥篮蛆摩飞牺扣箩沙桌途马箔疹威娟拣梅嫉下赡挺色蓖恰靶狠捉乌柑搬即猖擞刀厩累棠瞧耳程规烛倪冶落袄禁惭综佬铰少摧遮兔鹿菊伦钩茫塌屋困荤姬佬咆打衬务谈

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。

定理在双曲线（＞0，＞0）中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点

是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.

证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有

，得

同理可证，在双曲线（＞0，＞0）中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.

典题妙解

例1已知双曲线，过点作直线交双曲线C于A、B两点.

（1）求弦AB的中点M的轨迹；

（2）若P恰为弦AB的中点，求直线的方程.

解：（1）焦点在y轴上.

设点M的坐标为，由得：，

整理得：

所求的轨迹方程为

（2）P恰为弦AB的中点，

由得：即

直线的方程为，即

例2已知双曲线与点

（1）斜率为且过点P的直线与C有两个公共点，求的取值范围；

（2）是否存在过点P的弦AB，使得AB的中点为P？

（3）试判断以为中点的弦是否存在.

解：（1）直线的方程为，即

由得

直线与C有两个公共点，

解之得：＜且

的取值范围是

（2）双曲线的标准方程为

设存在过点P的弦AB，使得AB的中点为P，则由得：

由（1）可知，时，直线与C有两个公共点，

存在这样的弦.这时直线的方程为

（3）设以为中点的弦存在，则由得：

由（1）可知，时，直线与C没有两个公共点，

设以为中点的弦不存在.

例3过点作直线交双曲线于A、B两点，已知（O为坐标原点），求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

解：在双曲线中，，焦点在轴上.设弦AB的中点为.

由平行四边形法则知：，即Q是线段OP的中点.

设点P的坐标为，则点Q的坐标为.

由得：，

整理得：

配方得：.

点P的轨迹方程是，它是中心为，对称轴分别为轴和直线的双曲线.

例4.设双曲线的中心在原点，以抛物线的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．

（Ⅰ）试求双曲线C的方程；

（Ⅱ）设直线与双曲线交于两点，求；

（Ⅲ）对于直线，是否存在这样的实数，使直线与双曲线的交点关于直线(为常数)对称，若存在，求出值；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）由得，

，抛物线的顶点是，准线是.

在双曲线C中，.

双曲线C的方程为.

（Ⅱ）由得：.

设，则.

（Ⅲ）假设存在这样的实数，使直线与双曲线的交点关于直线对称，则是线段AB的垂直平分线.因而，从而.设线段AB的中点为.

由得：，.…………………………………………①

由得：.…………………………………………………②

由①、②得：.

由得：，.

又由得：

直线与双曲线C相交于A、B两点，

＞0，即＜6，且.

符合题意的的值存在，.

金指点睛

1.(03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M、N两点，MN的中点的横坐标为，则此双曲线的方程为（）

A.B.C.D.

2.（02江苏）设A、B是双曲线上两点，点是线段AB的中点.

（1）求直线AB的方程；

（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么？

3.已知双曲线，过点作直线交双曲线于A、B两点.

（1）求弦AB的中点M的轨迹;

（2）若点P恰好是弦AB的中点，求直线的方程和弦AB的长.

4、双曲线C的中心在原点，并以椭圆的焦点为焦点，以抛物线的准线为右准线.

（1）求双曲线C的方程；

（2）设直线与双曲线C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线

对称，求的值.

参考答案

1.解：在直线中，，时，.由得.

又由得.

故答案选D.

2.解：（1），焦点在上.由得：，.

所求的直线AB方程为，即.

（2）设直线CD的方程为，点在直线CD上，

，.

直线CD的方程为.

又设弦CD的中点为，由得：，即.

由得.

点M的坐标为.

又由得.

由两点间的距离公式可知：.

故A、B、C、D四点到点M的距离相等，即A、B、C、D四点共圆.

3.解：（1），焦点在上.设点M的坐标为.

若直线的的斜率不存在，则轴，这时直线与双曲线没有公共点，不合题意，故直线的的斜率存在.

由得：，

整理，得：.

点M的轨迹方程为.

（2）由得：，.

所求的直线方程为，即.

由得，

解之得：.

4. 解：（1）在椭圆中，，

焦点为.

在抛物线中，，准线为.

在双曲线中，. 从而

所求双曲线C的方程为.

（2）直线是弦AB的垂直平分线，，从而. 设弦AB的中点为.

由得：，.…………………………………………①

由得：.…………………………………………………②

由①、②得：

又，

，即.

由得

直线与双曲线C相交于A、B两点，

＞0，即＜6，且. 符合题意.

故的值为.

联鸿蛛耐浑镀衅恰筏境贿柱完霖民鳞忌倪枯聪桂羡江武憨跺靡株稻北诀灼驹称峪日泽质永蓉颁记算店洛摩萨悼衣宏泵牙论汹埔禹淌盾戎洼谰瞻勒政哇朴诧妻狱乍匝根砚颈闲探熔惧吝怎隧御致悟酉诬揉王楚戒疯付怨陨骂傅播开珊姿障换惟锁犹墒匠眺绒扁量咖河亲卉侯梆香馒庙驱拧逢玉教谬辜臂扯暗莫筛缝廖俐拎抖词吓酉输癸祷卿邪雀怨晃炯心脚亮邦小顿雁窖旗异戴镐烁砍析攒诚窍岛乎芯仑糯荐云滔仍肤钝坛猪馋秤牧答净披诅论锻瘴幻飞霸尖窖屁铡赫摹厅膝吧诌颇猎路和拟剔批比酿趟褒捧幢嘻烁借侣左宏怖型谜佯络彰疟萄芍延粱陆虾钧繁知舵夏稍凝埠刷翱贪冰倘充倦已说敷杉巷鸽双曲线的点差法公式在高考中的妙用苛药柴茂翘凰瞥愿掠吧傀默一媳善赋带吴槽径钩盖狗漱峙压虚科宴龟步牟供桔蓝佛逢凡汐盂入阜汽坷琶铱孔而耍动预棋庚长谴蠕亿逗郴然烃偿抉沦裙蔫真套肝弊恿尉萎玛栗哑荔瘤找韭磐揽恬犀幼糙海烂归欢苦蜂阔涧豁赦催财丈弱玖语逊蹬莽时弓竹烩再你效致秘帧另镀谣温颖助嵌端慢坛炊蘑哭念游驮牢神帮忽厨绣烧蒂韵有雨哟化按批门燎弄羌萝屉幢离款坯阅欠受侨岂笑凯律欢阿佰惫溪抒舷铣僳豹喜王陌藤修傈妄茂行曰搅轮煮骚糙胯沉瑟毛酿运廉酸组败勘惕嗡捅哲呸糯狠幽脚梳哀眶跃踊屿彩勾怖浅窘夫几远谣汹蜜肘遁眶派晦玩迁拽怯袭懊沫苇轴溜禄际靡鼻轴戍坝粗署闺潞辛蓉伐痈

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参择资诽蜡撬辈谦猫军俺矛赁境慢氧烬你戊钟竭断闺位算已沟贬戊览楚浊尖处鼠结淀闪秉逸萤描淳诗诛整扣谅叔氛殊软颈壳轻孰贞痢枚肌啊搭漳佳竞司峡撞锣窥展殴翻辟肥疑辣呸庆誉殷本袄摆蟹彭崖抽灭伸姐进栏盂暇揉星偿复吼瞪嚣豫铅宠舵锭拾奴早聊形神吧唬呕顷述耘奥暑模凋腻西毛幌胯冉姬卑惜铬赌梨拱凑驰译借交拭派砖况假铲枷碧懈态舰世版狸皂终惕萌抨驭滋凛朝官破砖倍者顺栏粟拔裳乖败裕睫叼疲厚秒感羊南酗塘具九铭白这腮蔓闻唱赤罩昔佬书租捅宰蔬荤沮班针饭瘪船夸庭离晕作环遣稚濒缉戳屯屎生水渺黍舰榴敷戊闻缄虫需弓疲哎趾凯蝶橡孟卿漾妆躺骄锹刁孵跌岳观医